По его инициативе в Москве был основан музей русской
этнографии (первоначально — отделение Румянцевского музея), в состав которого вошли экспонаты Русской этнографической выставки, организованной в 1867 году Московским обществом любителей естествознания. Коллекция музея состояла из 288 художественно исполненных
манекенов, изображавших представителей племён
России и славянских земель, до 450
костюмов, до 1200 предметов домашнего быта и до 2000 рисунков и фотографий. По заказу Дашкова были исполнены и раскрашены фотографические снимки крупных размеров со всех манекенов, входящих в состав музея, и таким образом составлен единственный в своём роде
альбом народностей России и славянских земель.
Дашков способствовал развитию всех направлений деятельности музеев, инициировал и содействовал поступлению ценных пожертвований, продолжал привлекать к работе в музеях лучших людей своего времени, укреплял и поднимал уважение к музеям. За свой счёт издал ряд научных трудов, в том числе «Сборник антропологических и этнографических статей о России и странах ей прилежащих» (книги I—II, М., 1868-73), «История русской жизни с древнейших времён» И. Е. Забелина (части I—II, М., 1876-9), «Материалы для исторического описания Румянцевского музея» К. И. Кестнера (М., 1882), «Сборник материалов по этнографии» под редакцией В. Ф. Миллера (выпуски I—III, М., 1886-88). 28 мая 1882 года Дашков пожертвовал Музеям «Собрание изображений русских деятелей», которое состояло из 243
портретов, скопированных с лучших подлинников
Крамским,
Репиным,
Васнецовым и другими художниками.
Дашков неоднократно передавал в фонд Музеев ценнейшие материалы: автографы
А. С. Пушкина, старославянские книги, гравюры, картины, этнографическую коллекцию — «Дашковский этнографический музей», который в 1924 перешёл в Центральный музей народоведения. В 1897
вдова Дашкова передала в дар Музеям 1000 рублей на пополнение собрания (в настоящее время это собрание хранится в Государственном историческом музее в Москве).